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Les méthodes multigrille et de décomposition de domaine constituent des méthodes efficaces pour la résolution numérique des problèmes issus de la discrétisation de certaines équations aux dérivées partielles intervenant dans de multiples applications en sciences de l’ingénieur. Ce manuscrit couvre quelques aspects récents à propos de ces méthodes itératives destinées à la résolution de tels problèmes conduisant généralement à des systèmes linéaires ou non-linéaires de très grande taille. Plus spécifiquement, nous abordons le cas des méthodes multigrille géométriques, des méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement et des méthodes de Krylov en insistant sur leur combinaison. Dans une première partie, la combinaison de méthodes multigrille et de méthodes de Krylov est ainsi illustrée autour de la résolution d’une équation aux dérivées partielles dite d’Helmholtz modélisant les phénomènes de propagation d’ondes dans un milieu hétérogène. Dans une deuxième partie, nous nous concentrons sur une classe de méthodes de décomposition de domaine dans le cadre d’une discrétisation éléments finis de type hp, où le raffinement est autorisé en diminuant le pas de maillage h ou en augmentant le degré polynômial d’approximation p sur chaque élément. Des résultats théoriques décrivant le comportement des nombres de conditionnement de l’opérateur préconditionné sont donnés et illustrés sur des problèmes académiques. Dans une troisième partie, nous passons en revue des avancées récentes concernant les méthodes de Krylov autorisant l’emploi de préconditionnements variables. Nous détaillons notamment les méthodes de Krylov flexibles munies d’augmentation ou de déflation, où la déflation vise à capturer de l’information de type sous-espace invariant approché. Ensuite, nous présentons des méthodes de Krylov flexibles pour la résolution de systèmes à multiples seconds membres donnés simultanément. L’efficacité des méthodes proposées est illustrée sur des applications frontières en géophysique, nécessitant la résolution de systèmes linéaires de très grande taille sur calculateurs massivement parallèles. Enfin, ce manuscrit se conclut par une évocation des pistes de recherche du candidat dans un futur proche à propos de l’analyse et du développement de méthodes efficaces pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles sur machines massivement parallèles.

 

Jury :

Iain Duff                        – Examinateur        (Rutherford Appleton Laboratory, UK / Cerfacs, France)

Andreas Frommer        – Rapporteur           (University of Wuppertal, Germany)

Serge Gratton               – Examinateur        (INPT-IRIT, France)

Frédéric Nataf              – Rapporteur           (Université Pierre et Marie Curie, France)

Cornelis Oosterlee       – Rapporteur           (CWI and TU Delft, The Netherlands)

Michel Visonneau        – Examinateur        (Ecole Centrale de Nantes, France)