Équivalence avec le BLUE

En reprenant exactement les mêmes hypothèses que pour le BLUE, il est possible de résoudre le problème par une approche variationnelle. Pour cela, il faut définir une fonctionnelle :

$$J({\mathbf x}) = \frac{1}{2}({\mathbf x}-{\mathbf x}^b){\mathbf B}^{-1}({\mathbf x... ...\mathbf H}{\mathbf x})^T{\mathbf R}^{-1}({\mathbf y}^o-{\mathbf H}{\mathbf x}),$$ (4.18)

appelée fonction coût et qui a pour caractéristique d'être quadratique en ${\mathbf x}$. Comme, de plus, les matrices ${\mathbf B}$ et ${\mathbf R}$ sont définies positives, alors cette fonction coût est convexe et possède un seul minimum qui peut être estimé par son gradient :

$$\nabla J({\mathbf x}) = {\mathbf B}^{-1}({\mathbf x}-{\mathbf x}^b)-{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}({\mathbf y}^o-{\mathbf H}{\mathbf x}).$$ (4.19)

Le point selle ${\mathbf x}^*$ est donc logiquement obtenu pour $\nabla J({\mathbf x})=0$ :

$${\mathbf B}^{-1}({\mathbf x}^*-{\mathbf x}^b)-{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}({\mathbf y}^o-{\mathbf H}{\mathbf x}^*) = 0,$$

$${\mathbf B}^{-1}({\mathbf x}^*-{\mathbf x}^b)+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H}{\mathbf x}^* - {\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf y}^o = 0,$$

$${\mathbf B}^{-1}({\mathbf x}^*-{\mathbf x}^b)+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H}({\mathbf x}^*-{\mathbf x}^b) = {\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf y}^o - {\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H}{\mathbf x}^b,$$

$$({\mathbf B}^{-1}+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\mathbf H})({\mathbf x}^*-{\mathbf x}^b) = {\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}({\mathbf y}^o-{\mathbf H}{\mathbf x}^b),$$

et la forme obtenue (Eq. 4.20) en écrivant cette égalité par rapport à $x^*$ est identique à l'Eq. 4.11 :

$${\mathbf x}^* = {\mathbf x}^b + ({\mathbf B}^{-1}+{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}{\... ... H})^{-1}{\mathbf H}^T{\mathbf R}^{-1}({\mathbf y}^o-{\mathbf H}{\mathbf x}^b).$$ (4.20)

La formulation variationnelle est donc strictement identique au BLUE à l'optimalité.