Calcul de la fonction coût et de son gradient

Le terme d'ébauche de la fonction coût $J^b$ est identique à celui décrit pour le 3D-Var. Son évaluation est directe pour tout état de la variable d'état ${\mathbf x}$. L'évaluation du terme lié aux observations $J^o$ est, par contre, plus ardue. Dans le cadre du 3D-Var, $J^o$ est une combinaison linéaire des écarts entre les observations et l'état du modèle à un instant donné. À présent, chaque évaluation de $J^o$ requiert l'intégration du modèle sur la fenêtre d'assimilation.

L'équation $\nabla J=0$ ne peut être résolue directement. Une solution minimisant la fonction coût $J$ par une méthode de descente itérative utilisant la valeur de $\nabla J$ est envisageable. Généralement, l'état d'ébauche ${\mathbf x}^b$ est utilisé comme une première estimation de l'état analysé. Le gradient de la fonction coût $\nabla J$ peut être estimé de manière très efficace par la méthode adjointe^5.14. En fait, l'évaluation du terme $\nabla J^o$ peut se résumer à une intégration du modèle direct et une intégration du modèle adjoint (Le Dimet et Talagrand, 1986). Le gradient de la fonction coût est évalué par rapport à ${\mathbf x}$ décrivant le vecteur d'état à l'instant initial de la fenêtre d'assimilation

$$\nabla J^o({\mathbf x}) = {\mathbf x}^*,$$ (5.30)

où ${\mathbf x}^*$ représente l'adjoint de la variable ${\mathbf x}$.

La méthode adjointe permet une évaluation efficace du gradient de la fonction coût dans l'algorithme du 4D-Var. Néanmoins, cette opération implique qu'une version adjointe du modèle d'évolution linéarisé soit disponible. Cette contrainte est souvent l'étape cruciale à surmonter lors de l'implémentation de l'algorithme d'assimilation 4D-Var. En effet, dans de nombreux domaines, comme la météorologie et l'océanographie, les modèles d'évolution sont souvent complexes et non-linéaires. Deux étapes sont généralement nécessaire : écrire le modèle linéaire-tangent du modèle d'évolution ; puis écrire son adjoint. Ces opérations peuvent être effectuées soit manuellement, soit par des méthodes de linéarisation et d'adjoint automatiques (Giering et Kaminski, 1998). Malheureusement, ces méthodes automatiques ne sont pas capables de présumer les hypothèses de linéarisation qui sont faites manuellement et les modèles linéaire-tangent et adjoint obtenus sont souvent très coûteux. Néanmoins, l'utilisation conjointe d'une méthode automatique et d'une écriture manuelle permet d'obtenir assez rapidement des modèles tangent-linéaire et adjoint efficaces.