Variables d'erreur

Il est possible de définir les erreurs d'ébauche, d'observation et d'analyse telle que présentées dans le Tab. 3.1.

Table: Définition des variables d'erreur.

Nom	Définition	Moyenne	Covariances
Erreur d'ébauche	$\boldsymbol {\epsilon}^b = {\mathbf x}^b - {\mathbf x}^t$	$\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^b$	${\mathbf B}= E[(\boldsymbol {\epsilon}^b-\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^b)(\boldsymbol {\epsilon}^b-\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^b)^T]$
Erreur d'observation	$\boldsymbol {\epsilon}^o = {\mathbf y}^o - H{\mathbf x}^t$	$\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^o$	${\mathbf R}= E[(\boldsymbol {\epsilon}^o-\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^o)(\boldsymbol {\epsilon}^o-\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^o)^T]$
Erreur d'analyse	$\boldsymbol {\epsilon}^a = {\mathbf x}^a - {\mathbf x}^t$	$\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^a$	${\mathbf A}= E[(\boldsymbol {\epsilon}^a-\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^a)(\boldsymbol {\epsilon}^a-\overline{\boldsymbol {\epsilon}}^a)^T]$

L'erreur d'ébauche est la différence entre la première estimation de l'état du modèle et l'état vrai. Cette erreur n'inclue pas l'erreur de discrétisation.

L'erreur d'observation est définie comme la différence entre les observations et l'équivalent modèle de l'état vrai. Cette erreur contient l'erreur de mesure ( $\boldsymbol {\epsilon}^m$) due aux imprécisions de l'appareil de mesure vis-à-vis de la réalité, l'erreur due à l'opérateur d'observation $H$ ( $\boldsymbol {\epsilon}^i$) et l'erreur de représentativité ( $\boldsymbol {\epsilon}^r$).

En effet, il est possible de définir le vecteur d'observation ${\mathbf y}^o$ comme la somme d'observations vraies ${\mathbf y}^t$ et de l'erreur de mesure $\boldsymbol {\epsilon}^m$.

$${\mathbf y}^o = {\mathbf y}^t + \boldsymbol {\epsilon}^m$$ (3.5)

Il est ensuite possible d'écrire ces observations vraies ${\mathbf y}^t$ comme construites à partir d'un opérateur d'observation continu ${\bf\mathcal{H}}$ et d'un état vrai et continu du modèle ${\mathbf x}^t_c$ :

$${\mathbf y}^o = {\bf\mathcal{H}} {\mathbf x}_c^t + \boldsymbol {\epsilon}^m$$ (3.6)

L'état vrai continu du modèle peut être décomposé en portions discontinues résolues ${\mathbf x}^t$ et en portions discontinues non résolues. Les portions discontinues étant la projection de ${\mathbf x}^t_c$ dans l'espace de dimensions finies du modèle. L'équation 3.6 peut alors s'écrire :

$${\mathbf y}^o = {\bf\mathcal{H}} {\mathbf x}^t + \boldsymbol {\epsilon}^m + \boldsymbol {\epsilon}^r$$ (3.7)

où $\boldsymbol {\epsilon}^r$ représente les portions non résolues de l'état continu, c'est-à-dire l'erreur de représentativité.

L'équation 3.7 peut ensuite d'écrire :

$${\mathbf y}^o = H {\mathbf x}^t + \boldsymbol {\epsilon}^m + \boldsymbol {\epsilon}^r + \boldsymbol {\epsilon}^i$$ (3.8)

où $H$ est l'opérateur discret d'observation et $\boldsymbol {\epsilon}^i$ son erreur associée.

Enfin, l'erreur d'analyse est définie comme la différence entre l'état analysé et l'état vrai. La trace de cette matrice permet de définir une estimation de l'erreur de l'état analysé qui peut servir comme objet de minimisation. Par la suite, l'assimilation de données s'attachera à minimiser cette grandeur :

$$\mathrm{Tr}({\mathbf A}) = \overline{\vert\vert \boldsymbol {\epsilon}^a - \overline{\boldsymbol {\epsilon}}^a \vert\vert^2}.$$ (3.9)

La moyenne de ces différentes erreurs sera appelé le biais et représente un problème systématique dans le système d'assimilation qui peut être une dérive du modèle, un biais dans les observations ou encore une erreur systématique dans la manière d'utiliser les observations. Il est important de comprendre que le biais est de même nature statistique que l'état du modèle ou le vecteur d'observation. Son interprétation est simple et les opérateurs linéaires utilisés pour le vecteur d'état du modèle ou celui d'observation peuvent lui être appliqué.