Covariances d'erreur

Les covariances d'erreur sont un petit plus compliquées que les erreurs de biais et seront illustrées par l'exemple des erreurs d'ébauche. Cependant, toutes les remarques peuvent aussi s'appliquer aux erreurs d'observation.

Dans un système scalaire, les erreurs de covariances se résument aux variances. Par contre, dans un système multidimensionnel, les covariances peuvent être décrites par une matrice carrée symétrique. Si le vecteur d'état du modèle est de dimension $n$, alors la matrice de covariance d'erreur est de dimension $n \times n$. La diagonale de cette matrice est alors constituée des variances de chaque variable du modèle et les termes non-diagonaux sont les covariances entre deux des variables du vecteur d'état du modèle. En définissant, pour trois variables, les erreurs d'ébauche non-biaisées ( $\overline{\boldsymbol {\epsilon}}$) telles que $(\boldsymbol {\epsilon}_i,\boldsymbol {\epsilon}_j,\boldsymbol {\epsilon}_k)$, alors la matrice de covariance d'erreur d'ébauche ${\mathbf B}$ s'écrit :

$${\mathbf B} = \left( \begin{array}{ccccc} \ddots & \cdots & \cdots & \cdots & \... ..._k) & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \ddots \end{array} \right)$$ (3.10)

En général, les variances sont non-nulles, car il est difficile de supposer que l'ébauche puisse représenter certains aspects de la réalité de manière parfaite. Dans ce cas, la matrice est alors définie positive et il est possible de réécrire les termes non-diagonaux de la matrice de covariance d'erreur sous forme de corrélation d'erreurs :

$$\rho(\boldsymbol {\epsilon}_i,\boldsymbol {\epsilon}_j) = \frac{\mathrm{cov}(\boldsymbol {\epsilon}_i,\boldsymbol {\epsilon... ...\mathrm{var}(\boldsymbol {\epsilon}_i)\mathrm{var}(\boldsymbol {\epsilon}_j)}}.$$ (3.11)

À la différence des erreurs de biais, il n'est pas possible d'appliquer les opérateurs linéaires utilisés sur le vecteur d'état du modèle ou sur le vecteur d'observation afin de transformer le champ de variances d'erreur (la diagonale de la matrice de covariance d'erreur). Il faut, en fait, définir des transformations linéaires avec des matrices pleines. Par exemple, si une transformation linéaire est définie par une matrice $P$ telle que les nouvelles coordonnées de la transformation de ${\mathbf x}$ soient $P{\mathbf x}$, alors la matrice de covariance de cette nouvelle variable est $P{\mathbf x}P^T$.