Notations et hypothèses

Soit l'espace du modèle de dimensions $n$ et l'espace des observations de dimensions $p$. En reprenant les définitions et notations précédentes :

${\mathbf x}^t$

est l'état du modèle vrai de dimension $n$ ;

${\mathbf x}^b$

est l'état de l'ébauche de dimension $n$ ;

${\mathbf x}^a$

est l'état analysé de dimension $n$ ;

${\mathbf y}^o$

est le vecteur d'observation de dimension $p$ ;

$H$

est l'opérateur d'observation passant de la dimension $n$ à $p$ ;

${\mathbf B}$

est la matrice de covariance d'erreur d'ébauche ( ${\mathbf x}^b-{\mathbf x}^t$) de dimension $n \times n$ ;

${\mathbf R}$

est la matrice de covariance d'erreur d'observation ( ${\mathbf y}- H{\mathbf x}^t$) de dimension $p \times p$ ;

${\mathbf A}$

est la matrice de covariance d'erreur d'analyse ( ${\mathbf x}^a-{\mathbf x}^t$) de dimension $n \times n$.

De plus, certaines hypothèses sont émises telles que :

opérateur d'observation linéarisé :

Les variations de l'opérateur d'observation au voisinage de l'ébauche est linéaire. Ainsi, pour tout ${\mathbf x}$ suffisamment proche de ${\mathbf x}^b$, $H{\mathbf x}-H{\mathbf x}^b = {\mathbf H}({\mathbf x}-{\mathbf x}^b)$ où ${\mathbf H}$ est un opérateur linéaire ;

erreurs non triviales :

les matrices ${\mathbf B}$ et ${\mathbf R}$ sont définies positives ;

erreurs non biaisées :

les moyennes des erreurs d'ébauche et d'observation sont nulles ( $E[{\mathbf x}^b-{\mathbf x}^t]=E[{\mathbf y}-H{\mathbf x}^t]=0$) ;

erreurs non-corrélées :

les erreurs d'ébauche et d'observation sont mutuellement décorrélées ( $E[({\mathbf x}^b-{\mathbf x}^t)({\mathbf y}-H{\mathbf x}^t)^T]=0$) ;

analyse linéaire :

les corrections apportées à l'ébauche dépendent linéairement de l'innovation ;

analyse optimale :

l'état analysé doit être aussi proche que possible de l'état vrai dans le sens du minimum de variance.