Filtre de Kalman - KF

KFFiltre de Kalman En 1960-61, Kalman et Bucy ont décrit une solution récursive pour des problèmes de filtrage linéaire de données discrète. Cette solution est depuis nommée filtre de Kalman. Ce filtre peut être appréhendé comme une extension du BLUE pour laquelle l'état analysé pour une étape donnée définit l'ébauche à l'étape d'analyse suivante. Outre ceci, le filtre de Kalman incorpore un modèle d'évolution de l'état du système entre deux instants $t_i$ et $t_{i+1}$.

Pour décrire cette méthode, les notations usuellement utilisées seront reprises. En particulier, la matrice des covariances d'erreur d'analyse, jusqu'ici notée ${\mathbf A}$, se nommera maintenant ${\mathbf P}^a$ et celle d'ébauche, jusqu'ici notés ${\mathbf B}$, s'appellera ${\mathbf P}^f$ de manière à mettre en évidence que l'ébauche (b comme background) est maintenant une prévision (f comme forecast). Le modèle d'évolution non-linéaire sera noté $M$, linéarisé il se nommera ${\mathbf M}$ et son adjoint ${\mathbf M}^T$. L'utilisation d'un modèle d'évolution entre deux instant $t_i$ et $t_{i+1}$ entraîne un nouveau type d'erreur nommée l'erreur modèle. Elle est supposée non-biaisée et est décrite par la matrice de covariance d'erreur du modèle à chaque instant $t_i$ : ${\mathbf Q}_i$. De plus, les erreurs d'analyse et modèle sont supposées non-corrélées.

Le schéma d'assimilation peut être décrit de la manière suivante : à partir d'une prévision à l'instant $t_i$ et de sa matrice de covariance d'erreur de prévision ${\mathbf P}^f_i$, une analyse est effectuée permettant d'obtenir un état analysé et une matrice de covariances d'erreur d'analyse ${\mathbf P}^a_i$ à l'instant $t_i$. Ensuite, une prévision du temps $t_i$ à $t_{i+1}$ est effectuée en partant de l'état analysé. De manière similaire, la matrice de covariance d'erreur d'analyse est propagée par le modèle d'évolution linéaire afin d'obtenir la matrice de covariance d'erreur de prévision ${\mathbf P}^f_{i+1}$ à l'instant $t_{i+1}$. Il suffit ensuite de répéter cette opération.

La deuxième étape, durant laquelle l'état analysé et la matrice de covariances d'erreur d'analyse est propagée jusqu'au temps d'observation suivant, est clairement la plus coûteuse.

De manière plus formelle, l'algorithme du filtre de Kalman entre les instants d'observation $t_i$ et $t_{i+1}$ peut être décrit les Eqs. 5.3, 5.4, 5.5, 5.6 et 5.7.

• Calcul de la matrice de gain ${\mathbf K}$ au temps $t_i$ :
  

  $${\mathbf K}_i = {\mathbf P}^f_i{\mathbf H}_i^T\left({\mathbf H}_i{\mathbf P}^f_i{\mathbf H}_i^T+{\mathbf R}_i\right)^{-1}.$$ (5.3)

  
  

• Analyse au temps $t_i$ :
  

  $${\mathbf x}^a_i = {\mathbf x}^f_i +{\mathbf K}_i\left({\mathbf y}^o_i - {\mathbf H}_i {\mathbf x}^f_i \right).$$ (5.4)

  
  

• Calcul de la matrice de covariance d'erreur d'analyse au temps $t_i$ :
  

  $${\mathbf P}^a_i = \left( {\mathbf I}- {\mathbf K}_i{\mathbf H}_i \right) {\mathbf P}^f_i.$$ (5.5)

  
  

• Prévision au temps $t_{i+1}$ par propagation de l'analyse de $t_i$ à $t_{i+1}$ par le modèle linéaire d'évolution :
  

  $${\mathbf x}^f_{i+1} = {\mathbf M}_{i \to i+1}({\mathbf x}^a_i).$$ (5.6)

  
  

• Calcul de la matrice de covariance d'erreur de prévision au temps $t_{i+1}$ par propagation de la matrice de covariance d'erreur d'analyse de $t_i$ à $t_{i+1}$ par le modèle linéaire d'évolution :
  

  $${\mathbf P}^f_{i+1} = {\mathbf M}_{i \to i+1} {\mathbf P}^a_i {\mathbf M}^T_{i \to i+1} + {\mathbf Q}_i.$$ (5.7)