Filtre de Kalman Étendu - EKF

EKFFiltre de Kalman étendu Dans le filtre de Kalman classique, le modèle d'évolution et l'opérateur d'observation sont supposés linéaires. Cependant, il arrive souvent que l'hypothèse de linéarité ne soit pas valide. Dans ce cas, il est possible de généraliser le filtre de Kalman en utilisant des formes linéarisées de l'opérateur d'observation et du modèle d'évolution pour les Eqs. 5.3, 5.5 et 5.7 et la forme non-linéaire pour les Eqs. 5.4 et 5.6. Ce filtre est appelé filtre de Kalman étendu (EKF).

Les cinq étapes de l'analyse peuvent alors s'écrire ainsi :

• Calcul de la matrice de gain ${\mathbf K}$ au temps $t_i$ :
  

  $${\mathbf K}_i = {\mathbf P}^f_i{\mathbf H}_i^T\left({\mathbf H}_i{\mathbf P}^f_i{\mathbf H}_i^T+{\mathbf R}_i\right)^{-1}.$$ (5.8)

  
  

• Analyse au temps $t_i$ à l'aide le l'opérateur d'observation non-linéaire :
  

  $${\mathbf x}^a_i = {\mathbf x}^f_i +{\mathbf K}_i\left({\mathbf y}^o_i - H_i {\mathbf x}^f_i \right).$$ (5.9)

  
  

• Calcul de la matrice de covariance d'erreur d'analyse au temps $t_i$ :
  

  $${\mathbf P}^a_i = \left( {\mathbf I}- {\mathbf K}_i{\mathbf H}_i \right) {\mathbf P}^f_i.$$ (5.10)

  
  

• Prévision au temps $t_{i+1}$ par propagation de l'analyse de $t_i$ à $t_{i+1}$ par le modèle non-linéaire d'évolution :
  

  $${\mathbf x}^f_{i+1} = M_{i \to i+1}({\mathbf x}^a_i).$$ (5.11)

  
  

• Calcul de la matrice de covariance d'erreur de prévision au temps $t_{i+1}$ par propagation de la matrice de covariance d'erreur d'analyse de $t_i$ à $t_{i+1}$ par le modèle linéaire d'évolution :
  

  $${\mathbf P}^f_{i+1} = {\mathbf M}_{i \to i+1} {\mathbf P}^a_i {\mathbf M}^T_{i \to i+1} + {\mathbf Q}_i.$$ (5.12)

  
  

A noter que, bien que le filtre de Kalman soit une analyse optimale, le filtre de Kalman étendu perd cette qualité (il ne fournit pas la solution de variance minimale). Néanmoins, l'utilisation du filtre de Kalman étendu dans un cadre faiblement non-linéaire permet d'obtenir de bonnes analyses. De plus, la linéarisation du modèle d'évolution $M$ peut interagir avec les erreurs modèle de manière assez compliquée.