Filtre RRSQRT

RRSQRTFiltre de Kalman de rang réduit Le filtre RRSQRT est une réponde à ce problème. Il permet d'éviter les différentes difficultés d'implémentation mise en évidence auparavant en représentant les directions principales des matrices d'erreur par des modes réduits. Ainsi, il possible d'utiliser exclusivement les modes au détriment des matrices.

En reprenant l'espace du modèle de dimension $n$, avec un état du système initial ${\mathbf x}_0^f$ auquel est associé la matrice de covariance d'erreur ${\mathbf P}^f_0$, il faut réaliser une décomposition en mode principaux de cette matrice telle que

$${\mathbf P}^f_0 \simeq {\mathbf S}^f_0({\mathbf S}^f_0)^T,$$ (5.14)

où ${\mathbf S}^f_0$ est une matrice de dimension $(m \times n)$ avec $m$ représentant les mes $m$ premiers modes principaux de ${\mathbf P}^f_0$. L'erreur sur l'ébauche a donc été réduite. Il est alors possible de définir un opérateur d'observation $\boldsymbol{\Psi}=(H_i {\mathbf S}^f_i)^T$. Le gain de Kalman, calculé dans l'espace d'analyse, peut alors être décrit en fonction de $\boldsymbol{\Psi}^T$ de taille $(p\times m)$

$${\mathbf K}^*_i = {\mathbf S}_i \boldsymbol{\Psi}\left(\boldsymbol{\Psi}^T\boldsymbol{\Psi} +{\mathbf R}_i\right)^{-1}.$$ (5.15)

Et, il est aussi possible d'obtenir la matrice racine de covariance d'analyse sans faire de calcul directement avec les matrices de covariance d'erreur :

$${\mathbf S}^a_i = {\mathbf S}^f_i\left({\mathbf I}-\boldsymbol{\Psi}\left(\boldsymb... ...^T\boldsymbol{\Psi} +{\mathbf R}_i\right)^{-1}\boldsymbol{\Psi}^T\right)^{1/2}.$$ (5.16)

Le calcul de la racine de ${\mathbf S}^a_i$ pourrait être coûteux, mais il n'en est rien puisque ${\mathbf I}-\boldsymbol{\Psi}\left(\boldsymbol{\Psi}^T\boldsymbol{\Psi} +{\mathbf R}_i\right)^{-1}\boldsymbol{\Psi}^T$ est de taille $(m\times m)$. De plus, la matrice racine est mieux conditionnée, ce qui assure une meilleure précision numérique.

Après l'analyse, la dimension du système est réduit en passant de $m$ modes à $m-q$ modes. Pour cela, il suffit de diagonaliser $({\mathbf S}^a_i)^T{\mathbf S}^a_i$ et de ne retenir que les $m-q$ plus grandes valeurs propres de la matrice de passage, puis de réduire ${\mathbf S}^a_i$.

À l'étape de prévision, l'état analysé est propagé par le modèle d'évolution et la racine de la matrice réduite $\tilde{{\mathbf S}}^a_i$ par le modèle linéaire-tangent. Elle est ensuite élargie en ajoutant $q$ modes imputés à l'erreur modèle :

$${\mathbf S}^f_{i+1} = [{\mathbf M}_{i \to i+1}\tilde{{\mathbf S}}^a_i({\mathbf M}_{i \to i+1})^T,\mathbf{T}_i].$$ (5.17)

Cette matrice comporte alors $m$ modes.