Filtre SEEK

SEEKSingular Evolutive Extended Kalman filter Le filtre SEEK^5.2 a été introduit par Pham en 1998. Il s'agit d'un filtre réduit déduit du filtre de Kalman étendu. Il repose sur la stagnation ou la décroissance du rang des matrices de covariances d'erreur, une propriété avérée ou forcée selon les cas.

Dans le cas d'un filtre sans erreur modèle, il résulte des Eqs. 5.10 et 5.14 que le rang de ${\mathbf P}^f_i$, noté $r=\mathrm{rang}({\mathbf P}^f_i)$, est une fonction décroissante de $t_i$, puisque, in fine, la récurrence est de la forme ${\mathbf P}^f_{i+1}={\mathbf A}_i{\mathbf P}^f_i{\mathbf B}_i$. En conséquence, si le rang de la matrice de covariance d'erreur initiale est faible comparée à la dimension $n$ de l'espace du modèle, il le restera. Il est alors possible de décomposer la matrice ${\mathbf P}^a_i$ avec une matrice diagonale à coefficient positifs ou nuls et une matrice orthogonale décrivant les $r$ directions principales d'erreur. À partir de cette décomposition, il est possible de poser le problème dans l'espace des directions principales d'erreur de taille très inférieure à la dimension du système original. L'analyse est alors effectuée dans cet espace réduit et a pour caractéristique de ne pas modifier l'espace engendré par les directions principales des erreurs. Ce qui n'empêche pas, en général, à ces directions de changer.

Dans un cadre plus général, le modèle n'est pas parfait. Il n'est pas possible de négliger ${\mathbf Q}_i$. Ainsi, il apparaît que le rang de ${\mathbf P}^f_{i+1}$ peut être supérieur à celui de ${\mathbf P}^a_i$. De plus, il ne peut plus y avoir de réduction du filtre sans approximation. La solution la plus naturelle et la plus simple pour réduire le rang consiste à projeter ${\mathbf Q}_i$ avec une projection orthogonale. C'est-à-dire que seule la composante de l'erreur modèle agissant dans le sous-espace sur lequel agit ${\mathbf P}^a_i$ est retenue.

L'idée de filtre SEEK peut donc être résumé à ceci : le système d'évolution $M$ amplifie les erreurs associées à un sous-espace $\mathcal{A}_i$ de l'espace tangent à l'espace modèle, tandis que les erreurs associées au complémentaire de cet espace sont atténuées. Si le rang de la matrice de covariance d'erreur est supérieur à la dimension de $\mathcal{A}_i$, alors il est possible d'espérer que le système d'évolution se chargera d'atténuer toutes les erreurs commises et non corrigées dans l'espace complémentaire de $\mathcal{A}_i$.