Le 4D-Var à contrainte faible

Dans la présentation du 4D-Var, le modèle a été considéré comme parfait. C'est-à-dire que le modèle décrivait exactement le comportement du système. Dans ce cas, le 4D-Var est décrit comme à contrainte forte (Sasaki, 1970). Cependant, malgré l'utilisation de modèles extrêmement sophistiqués, ceux-ci comportent des erreurs qui ne peuvent être négligées et qui ne pourront jamais l'être pour des systèmes aussi complexes que l'atmosphère ou l'océanographie.

Comme pour le filtre de Kalman présenté dans la section 5.2, l'ajout d'un terme correctif directement dans la fonction coût est possible. En définissant l'erreur du modèle telle que

$$\mathbf{q}_i = {\mathbf x}(t_i) - M_{i\to i+1}{\mathbf x}(t_{i-1}),$$ (5.31)

la fonction coût $J$ peut alors s'écrire

$$J({\mathbf x}, \mathbf{q}_1,\cdots,\mathbf{q}_N) = \frac{1}{2}\left({\mathbf x}-{\mathbf x}^b\right)^T{\mathbf B}^{-1}\left({\mathbf x}-{\mathbf x}^b\right)$$

$$+ \frac{1}{2}\sum_{i=0}^N \left({\mathbf y}^o_i-G_i{\mathbf x}\right)^T{\mathbf R}_i^{-1} \left({\mathbf y}^o_i-G_i{\mathbf x}\right)$$

$$+ \frac{1}{2}\sum_{i=0}^N\mathbf{q}_i^T{\mathbf Q}_i^{-1}\mathbf{q}_i,$$ (5.32)

où ${\mathbf Q}_i$ est la matrice de covariance d'erreur modèle à l'instant $t_i$.

Cette formulation du 4D-Var est dite à contrainte faible et il est nécessaire de proposer une modélisation de la matrice de covariance d'erreur modèle ${\mathbf Q}$. De nombreux travaux par Derber (1989), Stammer (1997), Bennet (1998), Lee et Marotzke (1998) ou Vidard (2001) utilisent cette algorithme du 4D-Var à contrainte faible.