Évolution temporelle de la matrice de covariance d'erreur d'ébauche

L'impact de la prise en compte du caractère temporel est clairement mis en évidence dans la fonction coût liée aux observations $J^o$. Cependant, l'aspect temporel de la matrice de covariance d'erreur d'ébauche ${\mathbf B}$ est moins évident dans un premier temps. En effet, la dynamique du modèle d'évolution est prise en compte implicitement par la matrice de covariance d'erreur d'ébauche ${\mathbf B}$ sur chaque fenêtre d'assimilation, et donc dans la fonction coût liée à l'ébauche $J^b$.

L'erreur d'ébauche à l'instant $t_0$ est l'écart entre l'ébauche et l'état vrai au début de la fenêtre d'assimilation $\boldsymbol {\epsilon}^b = {\mathbf x}^b - {\mathbf x}^t$. À tout instant $t_i$ du cycle d'assimilation, cette erreur notée $\boldsymbol {\epsilon}^b(t_i)$, est l'écart entre l'état vrai ${\mathbf x}^t(t_i)$ et l'ébauche ${\mathbf x}^b(t_i)$ sous l'hypothèse que le modèle est linéaire :

$$\boldsymbol {\epsilon}^b(t_ir) = {\mathbf x}^b(t_i) - {\mathbf x}^t(t_i)$$

$$= M_{0\to i}{\mathbf x}^b - M_{0\to i}{\mathbf x}^t$$

$$\approx {\mathbf M}_{0\to i}\left({\mathbf x}^b-{\mathbf x}^t\right)$$

$$\approx {\mathbf M}_{0\to i}\boldsymbol {\epsilon}^b.$$ (5.33)

La matrice de covariance d'erreur à l'instant $t_i$ est alors donnée par

$$E\left[\boldsymbol {\epsilon}^b(t_i)(\boldsymbol {\epsilon}^b(t_i))^T\right] = E\left[{\mathbf M}_{0\to i}\boldsymbol {\epsilon}^b(\boldsymbol {\epsilon}^b)^T{\mathbf M}_{0\to i}^T\right]$$

$$= {\mathbf M}_{0\to i}{\mathbf B}{\mathbf M}_{0\to i}^T.$$ (5.34)

Cette matrice décrit les erreurs liées à l'ébauche aux instants d'observations. La matrice de covariance d'erreur d'ébauche ${\mathbf B}$ est donc implicitement propagée en temps par le 4D-Var à travers la dynamique du modèle linéaire-tangent ${\mathbf M}_{0\to i}$ et son adjoint ${\mathbf M}_{0\to i}^T$. Le 4D-Var présente donc une analyse cohérente avec la dynamique du système (Thépaut , 1993).