Modèle WSGG

Dans le modèle de somme pondérée de gaz gris, l'émissivité totale $\epsilon_T$ d'une colonne de gaz de longueur l à la température T est donnée par:

$$\epsilon_T(T,l,p_a)=\sum_{k=1}^n a_k(T) \left[ 1- exp \left( -\kappa_k p_a l \right) \right]$$ (1.28)

où $\kappa_k$ est le coefficient d'absorption du $k^\textrm{ième}$ gaz gris, $p_a$ est la pression partielle des espèces absorbantes, et $a_k(T)$ est le facteur de pondération du $k^\textrm{ième}$ gaz. La pondération $a_k(T)$ peut être interprétée comme la fraction du rayonnement du corps noir dont le coefficient d'absorption est proche de $\kappa_k$ . Dans le cas d'un milieu homogène et isotherme, la résolution de l'équation de transfert radiatif peut être remplacée par un système de n équations de transfert pour n gaz gris:

$$I = \sum_{k=1}^n I^k$$ (1.29)

$$\frac{dI^k}{ds} = \kappa_k p_a \left( a_k I_b - I^k \right)$$ (1.30)

Ce même système est couramment utilisé pour des milieux inhomogènes et anisothermes. Le facteur de pndération $w_k$ est alors pris à la température locale.

Les paramètres du modèle de gaz gris qui sont le nombre de gaz gris $n$ , les coefficinets d'absorption $\kappa_k$ et les pondérations $a_k(T)$ ont été calculés par de nombreux auteurs pour la vapeur d'eau seule, pour des mélanges $CO_2-H_2O$ , ou mêm en prenant en compte le rayonnement de la suie. dans le cas de mélanges $CO_2-H_2O$ , la tabulation doit être faire pour des valeurs données du rapport entre la pression partielle d'eau ($p_w$ ) et celle de $CO_2$ ($p_c$ ). Ces rapport de pressions $\frac{p_w}{p_c}$ sont couramment choisis égaux à 2, 1, ou 0.5. Le modèle choisi pour PRISSMA est un modèle à 3 gaz gris plus un gaz transparent, dont les paramètres ont été calculés pour des mélange $CO_2-H_2O$ à pression atmosphérique et avec un rapport $\frac{p_w}{p_c}=2$ correspondant par exemple à une situation de combustion méthane-air [#!Sou94!#]. Ces paramètres ont été calculés à partir de données spectrales SNB couvrant une région allant de $150 cm^{-1}$ à $7000 cm^{-1}$ . Elles ne couvrent donc pas la totalites du spectre utilisé dans le modèle SNB-CK, en particulier pour les grands nombres d'onde, mais prennent en compte les bandes les plus importantes pour $H_2O$ et $CO_2$ .

Le modèle choisi comprenant 3 gaz gris, l'équation se reécrit:

$$\epsilon_T(T,l,p_a)=\sum_{k=1}^n a_k(T) \left[ 1- exp \left( -\kappa_k p_w l \right) \right]$$ (1.31)

Et comme le quatrième gaz est un gaz transparent, la relation suivante lie les coefficients $a_k$ :

$$a_4=1- \sum_{k=1}^3 a_k$$ (1.32)

LOrs du calcul de ces paramètres, les coefficients $\kappa_k$ et $a_k$ ont été ajustés pour une température $T=1700K$ . Pour les autres températures couvrant une plage de $300K$ à $2500K$ , les valeurs de $K_k$ sont fixées à celles obtenues pour $T=1700K$ et les coefficients $a_k$ sont ajustés pour chaque température par un polynôme à 5 coefficients:

$$a_k(T)=\sum_{j=0}^5 \alpha_{kj} T_j$$ (1.33)

La valeurs des paramètres $a_k(T)$ sont repésentées sur la figure .

Figure: Coefficients pour le modèle WSGG