Modèle FS-SNBCK

En partant du modèle SNB-CK, Liu et al. [#!Liu99!#] proposent d'opérer des regroupements de bandes étroites voisines et d'effectuer ensuite les calculs sur ces bandes élargies. Alors, pour un regroupement de $M$ bandes étroites de même largeur, la transmittivité moyenne est donnée par:

$$\overline{\tau}_{wb}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} \overline{\tau}_i$$ (1.23)

où $\overline{\tau}_i$ est la transmittivité moyenne de la ième bande étroite dans le regroupement des M bandes. La transmittivité moyenne sur la bande large est alors simplement la moyenne des transmittivités moyennes des bandes étroites qui la composent. Si on considère maintenant une formulation en coefficients d'absorption, la fonction de distribution de la bande large est donnée par:

$$f_{wb}(\kappa)=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} f_i(\kappa)$$ (1.24)

où $f_i(\kappa)$ est la fonction de distribution des coefficients d'absorption dans la ième bande étroite. La fonction cumulée peut être obtenue de la même façon par:

$$g_{wb}(\kappa)=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} g_i(\kappa)$$ (1.25)

Ce principe du regroupement de bandes introduit des erreurs dans l'hypothèse de bande étroite. En effet, plus on ajoute de bandes étroits voisines, et moins on peut considérer que la luminance du corps noir dans la bande est constante. Liu et al. [#!Liu99!#] soulignent cette source d'erreurs et recommandent de se limiter dans le nombre de bandes regroupées. Cependant, il est possible de tenir compte de la variation de la luminance du corps noir dans le différentes bandes regroupées par une pondération sur chaque bande étroite [#!Liu04a!#]. Il est alors possible de regrouper toutes les bandes pour obtenir le modèle FSCK. Dans ce modèle, toutes les bandes étroites sont regroupés et les fonctions $f$ et $g$ obtenues de ce regroupement à une température donnée sont exprimées par:

$$f_{wb}(\kappa)=\frac{1}{\sigma T^4}\sum_{i=1}^{367} I_{b\nu,i} \, f_i(\kappa) \Delta \nu_i$$ (1.26)

où $\sigma$ est la constante de Stefan-Boltzmann, $I_{b\nu,i}$ est la luminance du corps noir pour la bande étroite $i$ à la fréquence $\nu$ . La même pondération est affectée à la fonction cumulée:

$$g_{wb}(\kappa)=\frac{1}{\sigma T^4}\sum_{i=1}^{367} I_{b\nu,i} \, g_i(\kappa) \Delta \nu_i$$ (1.27)

L'utilisation pratique de ce modèle se fait en plusieurs étapes nécessitant l'inversion de la fonction g. En effet, pour réaliser l'intégrale de l'équation , il faut connaître la valeur de la fonction $H$ pour le coefficient d'absorption $\kappa$ correspondant au point de quadrature $g_i$ . On dispose au départ de la quadrature qui donne les valeurs de $g_j$ et les poids $w_j$ associés pour le spectre regroupé. Il faut alors chercher pour chaque valeur de $g_j$ la valeur $\kappa_j$ telle que l'équation soit respectée. Pour une valeur de $g_j$ , cette opération se fait par dichotomie. Pour chaque valeur de $\kappa$ testée, on calcule donc la valeur de $g(\kappa)$ pour chaque bande, puis on calcule la valeur de $g_{wb}$ en utilisant l'équation . La valeur maximale de départ prise pour $\kappa_j$ est de 10 fois la valeur maximale du paramètre $\overline{\kappa}$ pour l'ensemble des bandes étroites. Un critère d'arrêt de la dichotomie à 50 itérations a été introduit afin d'éviter des phénomènes de boucle infinie.
L'inversion par dichotomie peut être consommatrice en temps de calcul et il sera donc souhaitable de rechercher une tabulation pour éviter cette opération . Toutefois, une fois cette opération effectuée, l'intégration spectrale se fait alors très rapidement, puisqu'il n'y a plus que $N_{quad}$ calculs spectraux à effectuer.