Modèle SNB-CK

Le modèle SNB-CK est tout d'abord un modèle SNB et il considère donc un découpage du spectre des gaz rayonnants par des bandes dans lesquelles on fait l'hypothèse que la luminance du corps noir peut être considérée comme constante (hypothèse de bande étroite). Dans chaque bande étroite, les propriétés spectrales d'un gaz sont données représentées par deux paramètres $ (\overline{\kappa},\phi)$ tabulés pour des températures allant de 300 K à 2900 K par pas de 200 K, et pour des longueurs d'onde allant de $ 150 \, cm^{-1}$ à $ 9300 \, cm^{-1}$ . Les gaz considérés sont $ H_2O$ , $ CO_2$ et $ CO$ et les données spectrales du modèles SNB proviennent de [#!Sou97!#]. Ces données sont valables pour un modèle SNB basé sur un modèle de Malkmus pour lequel les intensités de raies d'un gaz dans chaque bande étroite sont distribuées suivant une loi inverse exponentielle [#!Mal67!#,#!Duf99!#]. Avec de tels modèles, le transmittivité moyenne d'une colonne de gaz de longueur $ l$ homogène et isotherme pour une bande étroite de largeur $ \Delta \nu$ est donnée par:

$\displaystyle \overline{\tau}_{\Delta \nu}(l)=exp \left[-\frac{\phi}{\pi} \left( \left( 1+ \frac{2 \pi \overline{\kappa} l}{\phi} \right)^{1/2} -1\right) \right]$ (1.14)

Le calcul des grandeurs telles que le terme source radiatif ou le flux aux parois suppose une intégration sur le spectre en général et donc sur chaque bande étroite. Si on note $ \kappa_{\eta}$ le coefficient d'absorption au nombre d'onde $ \nu$ dans une bande étroite, le calcul d'une grandeur $ H$ intégrée sur la bande revient à calculer l'intégrale suivante:

$\displaystyle \overline{H}_{\Delta \nu}= \frac{1}{\Delta \nu} \int_{\Delta \nu} H(\kappa_{\nu}) d\nu$ (1.15)

Par conséquent, seule la valeur intégrée sur une bande étant importante, on a toute liberté de réorganiser les raies présentes dans une bande sans altérer le résultat et les calculs dans une bande. Autrement dit, seule la fonction de distribution des coefficients d'absorption dans le bande $ f(\kappa)$ est importante, et pas la fréquence à laquelle ces coefficients d'absorption sont calculés.

La fonction de distribution des coefficients d'absorptions pour le modèle de Malkmus a une expression analytique [#!Duf99!#] et est obtenue par :

$\displaystyle f_{\Delta \nu}(\kappa)=\sqrt{\frac{\phi \overline{\kappa}}{2 \pi ...
...{\phi}{2}\frac{(\kappa - \overline{\kappa})^2}{\kappa\overline{\kappa} } \Bigg]$ (1.16)

On utilise alors l'expression de la fonction cumulée de la distribution des coefficients d'absorption comme variable de description spectrale ( $ g(\kappa)=\int_0^\kappa f(\kappa')d\kappa'$ ), qui a comme expression analytique pour un modèle de Malkmus :

$\displaystyle g_{\Delta \nu}(\kappa)=\Gamma \Bigg[ -\sqrt{\frac{\phi}{\kappa / ...
...pa / \overline{\kappa}}} \Bigg(1+\frac{\kappa}{\overline{\kappa}} \Bigg) \Bigg]$ (1.17)

Par cette opération, l'intégrale précédente (Eq. [*]) se réécrit:

$\displaystyle \overline{H}_{\Delta \nu}= \frac{1}{\Delta \nu} \int_{\Delta \nu} H(\kappa_{\nu}) d\nu = \frac{1}{\Delta \nu} \int_{0}^{1} H(\kappa (g)) dg$ (1.18)

$ g$ est la cumulative de la fonction de distribution du coefficient d'absorption. L'intégration d'une grandeur sur une bande étroite est effectivement réalisée en utilisant une quadrature sur la fonction $ g$ . La quadrature utilisée par défaut dans le code PRISSMA est une quadrature de Gauss-Legendre à 5 points [#!Liu00b!#], de sorte que l'intégrale précédente devient:

$\displaystyle \overline{H}_{\Delta \nu}= \sum_{j=1}^{N_{quad}} w_j H(\kappa (g_j))$ (1.19)

$ N_{quad}$ est le nombre de points de quadratures sur une bande étroite pour représenter la fonction g, et $ w_j$ est le poids associé au $ j^\textrm{ième}$ point de la quadrature.

A ce stade, pour traiter des milieux non homogènes et non isothermes, on fait une hypothèse supplémentaire afin de prendre en compte la déformation du spectre le long d'un chemin optique. Cette hypothèse consiste à considérer que toutes les raies d'une bande étroite se déforment de la même manière en fonction de la température. Autrement dit, on peut considérer que la quantité $ \frac{\kappa}{\overline{\kappa}}$ est constante quel que soit la fréquence dans la bande étroite. Cela revient également à considérer que la fonction $ g$ est constante le long d'un chemin optique. C'est l'hypothèse des K corrélés ou hypothèse CK.

Par ailleurs, le traitement du mélange de gaz est obtenu par le même modèle en suivant la méthode de Liu [#!Liu01!#] basée sur la limite optiquement mince et qui donne les paramètres d'un mélange de gaz en fonction des paramètres de ses constituants:

$\displaystyle \overline{\kappa}_{m\'elange}=\sum_{i=1}^{N_{gaz}} \overline{\kappa}_i$ (1.20)

et

$\displaystyle \frac{\overline{\kappa}^2_{m\'elange}}{\phi_{m\'elange}}=\sum_{i=1}^{N_{gaz}} \frac{\overline{\kappa}^2_i}{\phi_i}$ (1.21)

Lors d'un calcul de terme source, les calculs radiatifs sont effectués $ N_{bandes} \times N_{quad}$ fois de manière indépendantes, où $ N_{bandes}=367$ est le nombre de bandes étroites, de largeur $ \Delta \eta = 25 \, cm^{-1}$ considérées. Ces bandes permettent de considérer une région du spectre infrarouge allant de $ 150 \, cm^{-1}$ à $ 9300 \, cm^{-1}$ . $ N_{quad}=5$ représente le nombre de points de quadratures pour chaque bande étroite. L'équation du terme source radiatif calculé est donnée par :

$\displaystyle S_{r,MOD}=-\sum_{i=1}^{N_{bandes}}\sum_{j=1}^{N_{quad}} \Delta \n...
...\pi \overline{I}_{b,ij}- \sum_{k=1}^{N_{dir}}w_{k}{I}_{ij}(\textbf{s}_k) \Bigg)$ (1.22)

Le modèle SNB-CK étant le modèle de propriétés radiatives des gaz disponible le plus précis dans PRISSMA, les résultats produits avec ce modèle serviront de résultats de référence pour les modèles FSCK et WSGG. Le code PRISSMA utilisé avec le modèle SNB-CK a fait l'objet de benchmarks avec d'autres codes et l'on pourra trouver des points de comparaison dans [#!Stanford!#].

Damien Poitou 2010-06-10