Analyse optimale

Comme ce navigateur lisait régulièrement des ouvrages d'assimilation de données, il sait qu'il peut faire une estimation de sa nouvelle position en utilisant le BLUE. Il commence par écrire l'analyse de manière théorique ${\mathbf x}^a={\mathbf x}^b+{\mathbf K}({\mathbf y}^o-{\mathbf H}{\mathbf x}^b)$ puis l'applique à sa situation :

$$\left( \begin{array}{c} u^a \ v^a \end{array} \right) = ... ...gin{array}{c} 0\ {\mathbf K}v^o \end{array} \right).\nonumber$$

Connaissant l'Eq. 4.10, il sait que ${\mathbf K}^*={\mathbf B}{\mathbf H}^T({\mathbf R}+{\mathbf H}{\mathbf B}{\mathbf H}^T)^{-1}$. Il calcule donc le gain optimal ${\mathbf K}^*$ :

$${\mathbf K}^* = s^b \left( \begin{array}{c} 0\ 1 \end{array} \right) \left( s^o+(0,1)s^b \left( \begin{array}{c} 0\ 1 \end{array} \right) \right)^{-1},$$

$$= s^b \left( \begin{array}{c} 0\ 1 \end{array} \right) \left( s^o+ s^b \right),$$

$$= \frac{s^b}{s^o+s^b} \left( \begin{array}{c} 0\ 1 \end{array} \right).$$ (4.25)

Le malheureux naufragé peut alors estimer plus précisément sa position et en déduit que :

$$\left( \begin{array}{c} u^a \ v^a \end{array} \right) = ... ...{s^o+s^b} \left( \begin{array}{c} 0\ v^b \end{array} \right).$$

Il constate donc logiquement que n'ayant pas apporté d'information sur sa position le long de la côte, la meilleure estimation possible est de conserver sa position au moment du naufrage $u^a=0$. Il constate aussi que plus le temps s'écoule, plus l'erreur sur son ébauche $s^b$ grandit de sorte que la meilleure estimation de la distance le séparant de la côte tend vers son observation au jugé ( $\lim_{t \to \infty} v^a=v^o$).