3D-Var incrémental

Il est possible d'écrire le 3D-Var de manière incrémentale. L'intérêt de cette formulation sera discutée dans la section 5.8 où il apparaîtra clairement. Cette formulation consiste à considérer comme contrôle l'écart entre l'état du système et l'ébauche, et non plus l'état du système. L'introduction de l'approche incrémentale en météorologie a été motivée par la réduction de coût qu'elle propose en 4D-Var. Soit

$$\delta{\mathbf x} = {\mathbf x}- {\mathbf x}^b.$$ (5.23)

La fonction coût devient alors

$$J(\delta{\mathbf x}) = \frac{1}{2}\delta{\mathbf x}^T{\mathbf B}^{-1}\delta{\mathbf x} +... ...\delta{\mathbf x})^T{\mathbf R}^{-1}({\mathbf d}-{\mathbf H}\delta{\mathbf x}),$$ (5.24)

où ${\mathbf d}$ est le vecteur d'innovation ${\mathbf y}-H{\mathbf x}^b$.

La formulation 3D-Var FGAT (Eqs. 5.21 et 5.22) prend alors la forme suivante :

$$J^b(\delta{\mathbf x}) = \frac{1}{2}\delta{\mathbf x}^T{\mathbf B}^{-1}\delta{\mathbf x},$$

$$J^o(\delta{\mathbf x}) = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^N({\mathbf d}_i-{\mathbf H}\delta{\mathbf x})^T R^{-1}({\mathbf d}_i-{\mathbf H}\delta{\mathbf x}),$$ (5.25)

avec ${\mathbf d}_i={\mathbf y}^o_i - H{\mathbf x}(t_i)$.

Une illustration schématique (Fig. 5.6) du 3D-Var FGAT incrémental permet de comprendre simplement son utilisation. Il apparaît ainsi clairement que chaque analyse introduit un choc dans le modèle au moment de son introduction. Pour éviter cet inconvénient, il est possible d'utiliser une technique nommée IAU^5.12IAU Incremental Analysis Updating et introduite par Bloom (1996) qui consiste à répartir l'incrément d'analyse sur toute le cycle d'assimilation comme s'il s'agissait d'un forçage (Fig. 5.7).

Figure: Illustration de la procédure pour cycler le 3D-Var FGAT incrémental. Pour chaque cycle $c$, le modèle d'évolution est intégré de $t_0$ à $t_N$ à partir de l'état initial d'ébauche ${\mathbf x}^b_c(t_0)$ (courbe noir pleine) et le vecteur d'innovation $\mathbf{d}_i$ est calculé pour les différentes observations ${\mathbf y}^o_i$ avec $i=1,\cdots,N$ (ligne fine verticale). L'analyse est effectuée à l'instant $t$ compris entre $t_0$ et $t_N$. Après l'analyse, un incrément est obtenu et est rajouté à l'état d'ébauche ${\mathbf x}^b_c(t)$ permettant d'obtenir l'état analysé ${\mathbf x}^a_c(t)$. L'état analysé est ensuite propagé jusqu'à le fin du cycle $c$ (courbe grise pointillée). Cet état analysé ${\mathbf x}^a_c(t_N)$ est ensuite utilisé comme état initial d'ébauche pour le cycle suivant.

Figure: Illustration de la procédure pour cycler le 3D-Var FGAT incrémental avec IAU. Pour chaque cycle $c$, le modèle d'évolution est intégré de $t_0$ à $t_N$ à partir de l'état initial d'ébauche ${\mathbf x}^b_c(t_0)$ (courbe noir pleine) et le vecteur d'innovation $\mathbf{d}_i$ est calculé pour les différentes observations ${\mathbf y}^o_i$ avec $i=1,\cdots,N$ (ligne fine verticale). L'analyse est effectuée à l'instant $t$ compris entre $t_0$ et $t_N$. Après l'analyse, un incrément est obtenu qui est rajouté comme un forçage lors de l'intégration du modèle d'évolution de $t_0$ à $t_N$ à partir de l'état initial d'ébauche ${\mathbf x}^b_c(t_0)$ (courbe grise pointillée) Cet état analysé ${\mathbf x}^a_c(t_N)$ est ensuite utilisé comme état initial d'ébauche pour le cycle suivant.