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Méthodes de Monte Carlo multi-niveaux pour l’estimation de paramètres statistiques de champs discrétisés en géosciences

Ecole Doctorale 475: Mathématiques, Informatique et Télécommunications de Toulouse (EDMITT)

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Mot de passe : 576513

Les méthodes de réduction de variance multi-fidélités pour l’estimation statistique sont utilisées dans de plus en plus de domaines comme une amélioration par rapport à la méthode Monte Carlo. Dans leur forme originale, elles sont conçue pour estimer des paramètres statistiques scalaires. Cependant, dans certaines applications, par exemple en géosciences, les quantités d’intérêt dont on souhaite estimer les paramètres statistiques peuvent être des vecteurs ou des champs aléatoires. Dans le cas d’un vecteur aléatoire représentant un champ aléatoire discrétisé, l’utilisation d’un estimateur multi-fidélité n’est pas triviale, notamment si les entrées et sorties des différents modèles n’ont pas les mêmes dimensions sur les différents niveaux de fidélité. Des opérateurs de transfert entre les différents niveaux doivent alors être introduits. Cette thèse porte sur l’adaptation de l’estimateur Monte Carlo multi-niveaux (MLMC) à l’estimation de champs discrétisés en géosciences et sur l’analyse des opérateurs de transfert, permettant le choix d’opérateurs qui réduisent la variance du MLMC.

Afin de mieux comprendre l’effet des opérateurs de transfert, une analyse spectrale de l’estimateur MLMC est proposée. Des expériences numériques sur des problèmes simplifiés ont mis en évidence que le MLMC déteriore l’estimation des composantes hautes fréquences d’un champ discrétisé comparé à un simple estimateur Monte Carlo. Une analyse théorique portant sur une classe de problèmes spécifique, similaire aux analyses développées pour les méthodes multigrilles, a permis une meilleure compréhension des disparités dans l’estimation, par MLMC, des différentes composantes d’un champ discrétisé. Ces différents résultats nous ont conduit à modifier les opérateurs de transfert utilisés afin d’y ajouter une étape de filtrage inspirée des méthodes multigrilles. L’ajout de filtres permet d’améliorer l’estimation des composantes hautes et basses fréquences, réduisant ainsi la variance totale de l’estimateur.

L’utilisation de méthodes de type multilevel best linear unbiased estimator (MLBLUE) a permis de mieux choisir les opérateurs de transfert et les filtres en vue de réduire la variance de l’estimateur. Ces différentes améliorations ont été appliquées à l’estimation de la variance d’un champ discretisé obtenu par application d’un opérateur de covariance basé sur la diffusion. Les expériences numériques ont pu confirmer les résultats théoriques sur un problème plus complexe et mettre en évidence les améliorations apportées par rapport à un simple MLMC.

Cette recherche contribue à élargir les applications du MLMC à d’autres domaines, notamment les géosciences, et offre une meilleure compréhension de la méthode grâce aux liens tissés avec les méthodes multigrilles. Elle permet également d’améliorer l’estimateur MLMC en soulignant l’importance du choix des opérateurs de transfert.

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Jury

M. Serge Gratton	Institut National Polytechnique de Toulouse	Directeur de thèse
M. Anthony T. Weaver	Cerfacs – CECI	Directeur de thèse
M. Laurent Debreu	Inria Grenoble – Rhône-Alpes	Rapporteur
M. Olivier Le Maître	CNRS Paris-Centre	Rapporteur
Mme Clémentine Prieur	Université Grenoble Alpes	Examinatrice
M. Reda El Amri	IFP Energie Nouvelles	Examinateur
Mme Selime Gürol	Cerfacs – CECI	Examinatrice
M. Paul Mycek	Cerfacs – CECI	Invité
M. Ehouarn Simon	Institut National Polytechnique de Toulouse	Invité