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Résumé: 

Ces dernières années, les méthodes de simulations numériques appliquées à la mécanique des fluides sont devenues des outils indispensables pour l’industrie aéronautique. Ces méthodes sont utilisées de concert avec les approches expérimentales. Elles permettent, par exemple, d’avoir une compréhension précise d’un écoulement pour développer et dimensionner un composant d’avion. Ainsi, ces méthodes sont sans cesse améliorées pour restituer plus fidèlement la physique des écoulements simulés. Grâce à son coup de calcul réduit, sa facilité d’implémentation et d’utilisation, la méthode de Boltzmann sur réseau (LBM) s’est peu à peu imposée comme une solution alternative aux méthodes numériques traditionnelles. De plus, cette méthode possède les avantages d’être intrinsèquement instationnaire et est parfaitement adaptée aux géométries complexes. Malheureusement, sous sa forme standard, elle reste limitée à la simulation d’écoulements isothermes et faiblement compressibles, ce qui écarte de nombreuses applications aéronautiques. Néanmoins, des variantes compressibles existent. Parmi les plus prometteuses, on peut trouver la méthode hybride (HLBM) qui utilise la LBM pour calculer les équations de la masse et de la quantité de mouvement et un schéma aux différences finies pour calculer l’équation d’énergie. Cette thèse se consacre au développement et à l’étude de méthodes hybrides pour la simulation d’écoulements compressibles.

Tout d'abord, la LBM standard et ses limitations sont présentées ainsi qu’une étude bibliographique exhaustive sur ses variantes compressibles. Ensuite, les composants et le fonctionnement général de la méthode hybride sont montrés. Un modèle simple utilisant l’approximation de Boussinesq est développé et testé avec succès. Cependant, son extension naïve aux équations compressibles est trouvée numériquement instable à cause du couplage gaz parfait, et de la nature instable de la LBM à hauts nombres de Mach.

Ces deux problèmes sont par la suite résolus en adoptant un opérateur de collision plus robuste pour la LBM et une équation d’entropie pour la partie énergie. Un modèle hybride compressible stable, basé sur un réseau de vitesse discrète standard D2Q9, est ainsi obtenu et validé sur des cas tests subsoniques et supersoniques comprenant des ondes de choc. Néanmoins, pour la simulation d’ondes de choc fortes, le modèle montre des problèmes de conservativité. Ces derniers sont essentiellement attribués à l’utilisation de l’équation d’entropie qui est non-conservative. Des solutions sont par la suite proposées.

Ensuite, la stabilité et les propriétés spectrales des schémas HLBM sont étudiées grâce à l’approche de von Neumann. Cette étude met en exergue l’effet de nombreux paramètres sur la stabilité numérique tels que le modèle de collision, le choix de l’équation d’énergie ou encore l’influence de paramètres numériques comme le nombre CFL. Les mécanismes d’instabilités et les méthodes de stabilisation sont montrés, confirmant par la même occasion le gain en stabilité des modèles basés sur une équation d’entropie. Par ailleurs, grâce à une analyse plus approfondie, cette étude permet d’expliquer les comportements non-physiques observés de certains modèles en les attribuant à des transferts de mode. 

Finalement, la méthode hybride est implémentée dans le code LBM industriel ProLB. Elle est ensuite testée sur des cas tests compressibles subsoniques et supersoniques tridimensionnels contenant des conditions limites et des raffinements de maillages.

mots clés:  LBM, compressible, hybride, analyse de von Neumann

Jury