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Résumé:

Nous nous intéressons à l’échantillonnage de Monte Carlo (MC) d’équations aux dérivées partielles (EDPs) elliptiques discrétisées à coefficients variables aléatoires. La charge de calcul dominante de ces applications consiste à résoudre un grand nombre de systèmes linéaires à matrice et second membre variables. Afin d’alléger cet effort, nous examinons, développons, implémentons et analysons des méthodologies efficaces et scalables pour les EDPs elliptiques stochastiques qui utilisent des combinaisons appropriées de solveurs itératifs et de préconditionneurs. Trois stratégies de préconditionnement sont développées et étudiées.

Tout d’abord, des préconditionneurs parallèles usuels sont maintenus constants et utilisés pour résoudre tous les systèmes linéaires échantillonnés des simulations MC. Cette stratégie sert de point de comparaison pour les deux autres méthodes. Deuxièmement, des préconditionneurs basés sur la déflation de systèmes linéaires corrélés sont définis tout en échantillonnant le champ du coefficient aléatoire par méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov. Différentes projections et méthodes de redémarrage de l’espace de recherche propre sont considérées pour l’approximation de l’information spectrale. Contrairement aux projections harmoniques de Rayleigh-Ritz, les projections de Rayleigh-Ritz évitent les applications de préconditionneur lors du recyclage des sous-espaces de Krylov, de sorte qu’elles doivent être privilégiées pour une meilleure performance.

Le redémarrage épais et plus encore le redémarrage épais localement optimal de l’espace de recherche propre conduisent à des diminutions significatives du nombre d’itérations, en particulier pour les systèmes linéaires plus grands. La stratégie de préconditionnement basée sur la déflation, adaptée à l’inférence bayésienne, fonctionne particulièrement bien lors de l’utilisation de préconditionneurs dont l’action se traduit par des valeurs propres bien séparées aux extrémités du spectre. C’est le cas des préconditionneurs de Jacobi par blocs ainsi que des préconditionneurs basés sur la décomposition de domaine, mais pas du préconditionnement avec des multigrilles algébriques pour des équations isotropes.

Troisièmement, nous partitionnons l’espace stochastique latent du champ du coefficient aléatoire en cellules de Voronoï, dont chacune est représentée par un champ du coefficient centroïdal sur la base duquel un préconditionneur est défini qui est utilisé pour résoudre les systèmes linéaires échantillonnés dont les champs du coefficient correspondants sont à l’intérieur de la cellule.

Nous adoptons donc une représentation compacte du champ du coefficient aléatoire appelée quantifieur de Voronoï.

Nous considérons différentes distributions de champs du coefficient centroïdaux et nous étudions les propriétés des stratégies de préconditionnement sous-jacentes en termes de nombre d’itérations moyen pour les simulations séquentielles et d’équilibrage de charge pour les simulations parallèles. Une distribution en particulier, qui minimise la distance moyenne entre le champ du coefficient et sa représentation compacte, minimise le nombre moyen d’itérations.

Cette distribution est particulièrement adaptée aux simulations séquentielles.

Une autre distribution est considérée qui conduit à des fréquences d’attribution égales pour les cellules, si bien qu’un même nombre de systèmes linéaires est résolu avec chaque préconditionneur du quantifieur. Cette stratégie réduit la répartition du nombre moyen d’itérations parmi les préconditionneurs, de sorte qu’elle est plus adaptée aux simulations parallèles.

Enfin, une distribution basée sur des grilles déterministes avec une dimension stochastique qui augmente avec le nombre de préconditionneurs est proposée. Cette dernière distribution permet de s’affranchir des calculs préliminaires nécessaires pour déterminer la dimension optimale de l’espace stochastique approximatif pour un nombre donné de préconditionneurs.