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Résumé :

Les méthodes hiérarchiques sont devenues un outil essentiel pour la simulation numérique efficace de phénomènes physiques avec une fidélité croissante sur des calculateurs à haute performance modernes.

Des méthodes bien établies, telles que les méthodes multigrilles et de décomposition de domaine, se sont avérées performantes, de par leur capacité de passage à l’échelle, pour résoudre certains problèmes de grande taille de manière parallèle sur des supercalculateurs.

D’autre part, la propagation des incertitudes dans les simulations numériques a reçu une attention croissante ces dernières années.

Pour des simulations onéreuses en temps de calcul de problèmes fortement non-linéaires (par rapport à des paramètres d’entrée incertains), des méthodes avancées de quantification des incertitudes doivent être développées. Dans ce manuscrit, nous exposons des idées  méthodologiques et algorithmiques pour répondre à des questions spécifiques liées aux méthodes hiérarchiques. Premièrement, nous présentons des approches de décomposition de domaine résilientes pour la résolution numérique d’équations aux dérivées partielles déterministes et stochastiques, ainsi que des stratégies de Monte Carlo accélérées par des modèles de substitution pour la propagation des incertitudes dans des méthodes de décomposition de domaine. Deuxièmement, nous présentons de nouveaux solveurs multigrilles pour des systèmes linéaires issus de discrétisations hybrides d’ordre élevé. Troisièmement, nous proposons des approches hiérarchiques, plus précisément des méthodes multiniveaux et multifidélité, pour la propagation d’incertitudes dans les simulateurs numériques coûteux. Enfin, nous proposons également des idées pour la résolution numérique efficace de suites de systèmes d’équations linéaires, rencontrées typiquement lors de la résolution de problèmes instationnaires et/ou non linéaires, ou lors de l’échantillonnage d’équations aux dérivées partielles stochastiques.

Jury :

Laurent Debreu, Directeur de recherche, Inria, Rapporteur

Christophe Prud’homme, Professeur, Univ. Strasbourg, Rapporteur

Robert Scheichl, Professeur, Univ. Heidelberg, Rapporteur

Nathalie Bartoli, Directrice de recherche, Onera, Examinatrice

Grégory Pinon, Professeur, Univ. Le Havre Normandie, Examinateur

Carmen Rodrigo, Professeure associée, Univ. Zaragoza, Examinatrice

Ulrich Rüde, Professeur, FAU Erlangen-Nürnberg, Examinateur

Elisabeth Ullmann, Professeure, TU Munich, Examinatrice

Luc Giraud, Directeur de recherche, Inria, Invité